Волна (Wave, surge, sea) - образуется благодаря сцеплению частиц жидкости и воздуха; скользя по гладкой поверхности воды, поначалу воздух создаёт рябь, а уже затем, действует на ее наклонные поверхности, развивает постепенно волнение водной массы. Опыт показал, что водяные частицы не имеют поступательного движения; перемещается только вертикально. Морскими волнами называют движение воды на морской поверхности, возникающее через определённые промежутки времени.
Высшая точка волны называется гребнем или вершиной волны, а низшая точка - подошвой . Высотой волны называется расстояние от гребня до её подошвы, а длина это расстояние между двумя гребнями или подошвами. Время между двумя гребнями или подошвами называется периодом волны.
Основные причины возникновения
В среднем высота волны во время шторма в океане достигает 7-8 метров, обычно может растянуться в длину - до 150 метров и до 250метров во время шторма.
В большинстве случаев морские волны образуются ветром.Сила и размеры таких волн зависят от силы ветра, а так-же его продолжительности и «разгона» - длины пути, на котором ветер действует на водную поверхность. Иногда волны, которые обрушиваются на побережье, могут зарождаются за тысячи километров от берега. Но есть ещё много других факторов возникновения морских волн: это приливообразующие силы Луны, Солнца, колебания атмосферного давления, извержения подводных вулканов, подводных землетрясений, движением морских судов.
Волны, наблюдаемые и в других водных пространствах, могут быть двух родов:
1) Ветровые , созданные ветром, принимающие по прекращении действия ветра установившийся характер и называемые установившимися волнами, или зыбью; Ветровые волны создаются вследствие воздействия ветра (передвижение воздушных масс) на поверхность воды, то есть нагнетания. Причина колебательных движений волн становится легко понятна, если заметить воздействие того же ветра на поверхность пшеничного поля. Хорошо заметна непостоянность ветровых потоков, которые и создают волны.
2) Волны перемещения , или стоячие волны, образуются в результате сильных толчков на дне при землетрясениях или возбужденные, например, резким изменением давления атмосферы. Данные волны носят также название одиночных волн.
В отличие от приливов, отливов и течений волны в не перемещают массы воды. Волны идут, но вода остается на месте. Лодка, которая качается на волнах, не уплывает вместе с волной. Она сможет немного переместиться по наклонной, только благодаря силе земной гравитации. Частицы воды в волне движутся по кольцам. Чем дальше эти кольца от поверхности, тем меньше они становятся и, наконец, исчезают совсем. Находясь в субмарине на глубине 70-80 метров, вы не ощутите действие морских волн даже при самом сильном шторме на поверхности.
Виды морских волн
Волны могут проходить огромные расстояния, не изменяя формы и практически не теряя энергии, долго после того, как вызвавший их ветер утихнет. Разбиваясь о берег, морские волны высвобождают огрмную энергию, накопленную за время странствия. Сила непрерывно разбивающихся волн по-разному изменяет форму берега. Разливающиеся и накатывающиеся волны намывают берег и поэтому называются конструктивными . Волны, обрушивающиеся на берег, постепенно разрушают его и смывают защищающие его пляжи. Поэтому они называются деструктивными .
Низкие, широкие, закругленные волны вдали от берега называются зыбью. Волны заставляют частички воды описывать кружки, кольца. Размер колец уменьшается с глубиной. По мере приближения волны к покатому берегу частицы воды в ней описывают все более сплющенные овалы. Приближаясь к берегу, морские волны больше не могут замкнуть свои овалы, и волна разбивается. На мелководье частицы воды больше не могут замкнуть свои овалы, и волна разбивается. Мысы образованы из более твердой породы и разрушаются медленнее, чем соседние участки берега. Крутые, высокие морские волны подтачивают скалистые утесы у основания, образуя ниши. Утесы порой обрушиваются. Сглаженная волнами терраса - это все, что остается от разрушенных морем скал. Иногда вода поднимается по вертикальным трещинам в скале до вершины и вырывается на поверхность, образуя воронку. Разрушительная сила волн расширяет трещины в скале, образуя пещеры. Когда волны подтачивают скалу с двух сторон, пока не соединятся в проломе, образуются арки. Когда верх арки падает в море, остаются каменные столбы. Их основания подтачиваются, и столбы обрушиваются, образуя валуны. Галька и песок на пляже - это результат эрозии.
Деструктивные волны постепенно размывают берег и уносят песок и гальку с морских пляжей. Обрушивая всю тяжесть своей воды и смытого материала на склоны и обрывы, волны разрушают их поверхность. Они вжимают воду и воздух в каждую трещину, каждую расщелину, часто с энергией взрыва, постепенно разделяя и ослабляя скалы. Отколовшиеся обломки скал используются для дальнейшего разрушения. Даже самые твердые скалы постепенно уничтожаются, и суша на берегу изменяется под действием волн. Волны могут разрушать морской берег с поразительной быстротой. В графстве Линкольншир, в Англии, эрозия (разрушение) надвигается со скоростью 2 м в год. С 1870 г., когда был построен самый большой в США маяк на мысе Гаттерас, море смыло пляжи на 426 м в глубину побережья.
Цунами
Цунами - это волны огромной разрушительной силы. Они вызываются подводными землетрясениями или извержениями вулканов и могут пересекать океаны быстрее, чем реактивный самолет: 1000 км/ч. В глубоких водах они могут быть ниже одного метра, но, приближаясь к берегу, замедляют свой бег и вырастают до 30-50 метров, прежде чем обрушиться, затопляя берег и сметая все на своем пути. 90% всех зарегистрированных цунами отмечено в Тихом океане.
Наиболее распространённые причины.
Около 80% случаев зарождения цунами являются подводные землетрясения . При землетрясении под водой происходит взаимное смещение дна по вертикали: часть дна опускается, а часть приподнимается. На поверхности воды происходят колебательные движения по вертикали, стремясь вернуться к исходному уровню, - среднему уровню моря, - и порождает серию волн. Далеко не каждое подводное землетрясение сопровождается цунами. Цунамигенным (то есть порождающим волну цунами) обычно является землетрясение с неглубоко расположенным очагом. Проблема распознавания цунамигенности землетрясения до сих пор не решена, и службы предупреждения ориентируются на магнитуду землетрясения. Наиболее сильные цунами генерируются в зонах субдукции. Также, необходимо чтобы подводный толчок вошёл в резонанс с волновыми колебаниями.
Оползни . Цунами такого типа возникают чаще, чем это оценивали в ХХ веке (около 7 % всех цунами). Зачастую землетрясение вызывает оползень и он же генерирует волну. 9 июля 1958 года в результате землетрясения на Аляске в бухте Литуйя возник оползень. Масса льда и земных пород обрушилась с высоты 1100 м. Образовалась волна, достигшая на противоположном берегу бухты высоты более 524 м. Подобного рода случаи достаточно редки и, не рассматриваются в качестве эталона. Но намного чаще происходят подводные оползни в дельтах рек, которые не менее опасны. Землетрясение может быть причиной оползня и, например, в Индонезии, где очень велико шельфовое осадконакопление, оползневые цунами особенно опасны, так как случаются регулярно, вызывая локальные волны высотой более 20 метров.
Вулканические извержения составляют примерно 5% всех случаев цунами. Крупные подводные извержения обладают таким же эффектом, что и землетрясения. При сильных вулканических взрывах образуются не только волны от взрыва, но вода также заполняет полости от извергнутого материала или даже кальдеру, в результате чего возникает длинная волна. Классический пример - цунами, образовавшееся после извержения Кракатау в 1883 году. Огромные цунами от вулкана Кракатау наблюдались в гаванях всего мира и уничтожили в общей сложности более 5000 кораблей, погибло около 36 000 человек.
Признаки появления цунами.
- Внезапный быстрый отход воды от берега на значительное расстояние и осушка дна. Чем дальше отступило море, тем выше могут быть волны цунами. Люди, которые находятся на берегу и не знающие об опасности , могут остаться из любопытства или для сбора рыбы и ракушек. В данном случае необходимо как можно скорее покинуть берег и удалиться от него на максимальное расстояние - таким правилом следует руководствоваться, находясь, например, в Японии, на Индоокеанском побережье Индонезии, Камчатке. В случае телецунами волна обычно подходит без отступления воды.
- Землетрясение . Эпицентр землетрясения находится, как правило, в океане. На берегу землетрясение обычно гораздо слабее, а часто его нет вообще. В цунамоопасных регионах есть правило, что если ощущается землетрясение, то лучше уйти дальше от берега и при этом забраться на холм, таким образом заранее подготовиться к приходу волны.
- Необычный дрейф льда и других плавающих предметов, образование трещин в припае.
- Громадные взбросы у кромок неподвижного льда и рифов, образование толчеи, течений.
Волны-убийцы
Волны-убийцы (Блужда́ющие во́лны, волны-монстры, freak wave - аномальная волна) - гигантские волны, возникающие в океане, высотой более 30 метров, обладают несвойственным для морских волн поведением.
Еще каких-то 10-15 лет назад ученые считали истории моряков об исполинских волнах-убийцах, которые возникают из ниоткуда и топят корабли, всего лишь морским фольклором. Долгое время блуждающие волны считались выдумкой, так как они не укладывались ни в одну существовавшую на то время математические модели расчётов возникновения и их поведения, потому как волны высотой более 21 метра в океанах планеты Земля не могут существовать.
Одно из первых описаний волны-монстра относится к 1826 году. Её высота была более 25 метров и заметили её в Атлантическом океане недалеко от Бискайского залива. Этому сообщению никто не поверил. А в 1840 году мореплаватель Дюмон д"Юрвиль рискнул явиться на заседание Французского географического общества и заявить, что своими глазами видел 35-метровую волну. Присутствующие подняли его на смех. Но историй о громадных волнах-призраках, которые появлялись внезапно посреди океана даже при небольшом шторме, и своей крутизной походили на отвесные стены воды, становилось все больше.
Исторические свидетельства "волн-убийц"
Так, в 1933 году корабль ВМС США "Рамапо" попал в шторм в Тихом океане. Семь суток корабль бросало по волнам. А утром 7 февраля сзади внезапно подкрался невероятной высоты вал. Вначале судно швырнуло в глубокую пропасть, а потом подняло почти вертикально на гору пенящейся воды. Экипаж, которому посчастливилось выжить, зафиксировал высоту волны - 34 метра. Двигалась она со скоростью 23 м/сек, или 85 км/ч. Пока что это считается самой высокой когда-либо измеренной волной-убийцей.
Во время Второй мировой войны, в 1942 году, лайнер "Королева Мария" вез 16 тыс. американских военных из Нью-Йорка в Великобританию (между прочим, рекорд по количеству человек, перевозимых на одном судне). Неожиданно возникла 28-метровая волна. "Верхняя палуба была на обычной высоте, и вдруг - раз! - она резко ушла вниз", - вспоминал доктор Норвал Картер, находившийся на борту злополучного корабля. Корабль накренился под углом 53 градуса - если бы угол составил хотя бы на три градуса больше, гибель была бы неизбежной. История "Королевы Марии" легла в основу голливудского фильма "Посейдон".
Однако 1 января 1995 года на нефтяной платформе «Дропнер» в Северном море у побережья Норвегии была впервые приборно зафиксирована волна высотой в 25,6 метров, названная волной Дропнера. Проект "Максимальная волна" позволил по-новому посмотреть на причины гибели сухогрузов судов, которые перевозили контейнеры и другие немаловажные грузы. Дальнейшие исследования зафиксировали за три недели по всему земному шару более 10 одиночных гигантских волн, высота которых превышала 20 метров. Новый проект получил название Wave Atlas (Атлас волн), в котором предусматривается составление всемирной карты наблюдавшихся волн-монстров и её последующую обработку и дополнение.
Причины возникновения
Существует несколько гипотез о причинах возникновения экстремальных волн. Многие из них лишены здравого смысла. Наиболее простые объяснения построены на анализе простой суперпозиции волн разной длины. Оценки, однако, показывают, что вероятность экстремальных волн в такой схеме оказывается слишком мала. Другая заслуживающая внимания гипотеза предполагает возможность фокусировки волновой энергии в некоторых структурах поверхностных течений. Эти структуры, однако, слишком специфичны для того, чтобы механизм фокусировки энергии мог объяснить систематическое возникновение экстремальных волн. Наиболее достоверное объяснение возникновения экстремальных волн должно основываться на внутренних механизмах нелинейных поверхностных волн без привлечения внешних факторов.
Интересно, что такие волны могут быть как гребнями, так и впадинами, что подтверждается очевидцами. Дальнейшее исследование привлекает эффекты нелинейности в ветровых волнах, способные приводить к образованию небольших групп волн (пакетов) или отдельных волн (солитонов), способных проходить большие расстояния без значительного изменения своей структуры. Подобные пакеты также неоднократно наблюдались на практике. Характерными особенностями таких групп волн, подтверждающими данную теорию, является то, что они движутся независимо от прочего волнения и имеют небольшую ширину (менее 1 км), причем высоты резко спадают по краям.
Впрочем, полностью прояснить природу аномальных волн пока не удалось.
Упругие волны, распространяющиеся вдоль свободной границы твердого тела или вдоль границы твердого тела с другими средами
Анимация
Описание
Существование поверхностных волн (ПВ) является следствием взаимодействия продольных и (или) поперечных упругих волн при отражении этих волн от плоской границы между различными средами при определенных граничных условиях для компонент смещения. ПВ в твердых телах бывают двух классов: с вертикальной поляризацией, у которых вектор колебательного смещения частиц среды расположен в плоскости, перпендикулярной к граничной поверхности, и с горизонтальной поляризацией, у которых вектор смещения частиц среды параллелен граничной поверхности.
К наиболее часто встречающимся частным случаям ПВ можно отнести следующие.
1) Волны Рэлея (или рэлеевские), распространяющиеся вдоль границы твердого тела с вакуумом или достаточно разреженной газовой средой. Энергия этих волн локализована в поверхностном слое толщиной от l до 2l , где l - длина волны. Частицы в волне Рэлея движутся по эллипсам, большая полуось w которых перпендикулярна границе, а малая u - параллельна направлению распространения волны (рис. 1а).
Поверхностная упругая волна Рэлея на свободной границе твердого тела
Рис. 1а
Обозначения:
Фазовая скорость волн Рэлея c R » 0.9c t , где c t - фазовая скорость плоской поперечной волны.
2) Затухающие волны рэлеевского типа на границе твердого тела с жидкостью при условии, что фазовая скорость в жидкости с L < с R в твердом теле (что справедливо почти для всех реальных сред). Эта волна непрерывно излучает энергию в жидкость, образуя в ней отходящую от границы неоднородную волну (рис. 1б).
Поверхностная упругая затухающая волна рэлеевского типа на границе твердого тела и жидкости
Рис. 1б
Обозначения:
х - направление распространения волны;
u,w - компоненты смещения частиц;
кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы;
наклонные линии - фронты отходящей волны.
Фазовая скорость этой волны с точностью до процентов равна с R , коэффициент затухания на длине волны al ~ 0.1. Распределение по глубине смещений и напряжений - такое же, как в волне Рэлея.
3) Незатухающая волна с вертикальной поляризацией, бегущая по границе жидкости и твердого тела со скоростью, меньшей с L (и, соответственно, меньшей, чем скорости продольной и поперечной волн в твердом теле). Структура этой ПВ совсем другая, чем у рэлеевской волны. Она состоит из слабо неоднородной волны в жидкости, амплитуда которой медленно убывает при удалении от границы, и двух сильно неоднородных продольной и поперечной волн в твердом теле (рис. 1в).
Незатухающая ПВ на границе твердого тела и жидкости
Рис. 1в
Обозначения:
х - направление распространения волны;
u,w - компоненты смещения частиц;
кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы.
Энергия волны и движение частиц локализованы в основном в жидкости.
4) Волна Стонли, распространяющаяся вдоль плоской границы двух твердых сред, модули упругости и плотности которых не сильно различаются. Такая волна состоит (рис. 1г) как бы из двух рэлеевских волн - по одной в каждой среде.
Поверхностная упругая волна Стонли на границе двух твердых сред
Рис. 1г
Обозначения:
х - направление распространения волны;
u,w - компоненты смещения частиц;
кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы.
Вертикальные и горизонтальные компоненты смещений в каждой среде убывают при удалении от границы так, что энергия волны оказывается сосредоточенной в двух граничных слоях толщиной ~ l . Фазовая скорость волны Стонли меньше значений фазовых скоростей продольных и поперечных волн в обеих граничащих средах.
5) Волны Лява - ПВ с горизонтальной поляризацией, которые могут распространяться на границе твердого полупространства с твердым слоем (рис. 1д).
Поверхностная упругая волна Лява на границе "твердое полупространство - твердый слой"
Рис. 1д
Обозначения:
х - направление распространения волны;
кривые изображают ход изменения амплитуды смещений при удалении от границы.
Эти волны - чисто поперечные: в них имеется только одна компонента смещения v , а упругая деформация в волне Лява представляет собой чистый сдвиг. Смещения в слое (индекс 1) и в полупространстве (индекс 2) описываются выражениями:
v 1 = (A ¤ cos(s 1 h)) cos(s 1 (h - z))sin(w t - kx) ;
v 2 = A Ч exp(s 2 z) sin(w t - kx ),
где t - время;
w - круговая частота;
s 1 = ( k t1 2 - k 2 )1/2 ;
s 2 = (k 2 - k t2 2 )1/2 ;
k - волновое число волны Лява;
k t1 , k t2 - волновые числа поперечных волн в слое и в полупространстве соответственно;
h - толщина слоя;
А - произвольная постоянная.
Из выражений для v 1 и v 2 видно, что смещения в слое распределены по косинусу, а в полупространстве экспоненциально убывают с глубиной. Для волн Лява характерна дисперсия скорости. При малых толщинах слоя фазовая скорость волны Лява стремится к фазовой скорости объемной поперечной волны в полупространстве. При w h ¤ c t2 >>1 волны Лява существуют в виде нескольких модификаций, каждая из которых соответствует нормальной волне определенного порядка.
К ПВ относят и волны на свободной поверхности жидкости или на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Такие ПВ возникают под влиянием внешнего воздействия, например, ветра, выводящего поверхность жидкости из равновесного состояния. В этом случае, однако, упругие волны существовать не могут. В зависимости от природы возвращающих сил различают 3 типа ПВ: гравитационные, обусловленные в основном силой тяжести; капиллярные, обусловленные в основном силами поверхностного натяжения; гравитационно-капиллярные (см. описание ФЭ "Поверхностные волны в жидкости").
Временные характеристики
Время инициации (log to от -3 до -1);
Время существования (log tc от -1 до 3);
Время деградации (log td от -1 до 1);
Время оптимального проявления (log tk от 0 до 1).
Диаграмма:
Технические реализации эффекта
Техническая реализация эффекта
Волну Рэлея можно получить на свободной поверхности достаточно протяженного твердого тела (граница "твердая среда - воздух"). Для этого излучатель упругих волн (продольных, поперечных) размещают на поверхности тела (рис. 2), хотя, в принципе, источник волн может находиться и внутри среды на некоторой глубине (модель очага землетрясения).
Генерирование волны Рэлея на свободной границе твердого тела
Рис. 2
Применение эффекта
Поскольку сейсмические ПВ слабо затухают с расстоянием, ПВ, прежде всего Рэлея и Лява, используют в геофизике для определения строения земной коры. В ультразвуковой дефектоскопии ПВ используют для всестороннего неразрушающего контроля поверхности и поверхностного слоя образца. В акустоэлектронике (АЭ) с помощью ПВ можно создавать микроэлектронные схемы обработки электрических сигналов. Преимуществами ПВ в устройствах АЭ являются малые потери на преобразование при возбуждении и приеме ПВ, доступность волнового фронта, что позволяет снимать сигнал и управлять распространением волны в любых точках звукопровода и т.д.
Пример АЭ устройств на ПВ: резонатор (рис. 3).
Резонансная структура на поверхностных акустических волнах
Рис. 3
Обозначения:
1 - преобразователь;
2 - система отражателей (металлические электроды или канавки).
Добротность до 104 , низкие потери (менее 5 дБ), диапазон частот 30 - 1000 МГц. Принцип действия. Между отражателями 2 создается стоячая ПВ, которая генерируется и принимается преобразователем 1 .
Литература
1. Ультразвук / Под ред. И.П. Голяминой.- М.: Советская Энциклопедия, 1979.- С. 400.
2. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука, 1982.
Ключевые слова
- амплитуда
- волна поверхностная
- волна рэлеевская
- волна Лява
- волна Стонли
- волна вертикально поляризованная
- волна с горизонтальной поляризацией
- длина волны
- скорость волны
- дисперсия скорости
- частота
Разделы естественных наук:
Любое локальное нарушение горизонтальности поверхности жидкости приводит к появлению волн, которые распространяются по поверхности и быстро затухают с глубиной. Возникновение волн происходит из-за совместного действия силы тяжести и силы инерции (гравитационные гидродинамические волны) или силы поверхностного натяжения и силы инерции (капиллярные волны).
Приведем ряд результатов по гидродинамике поверхностного волнения жидкости, которые понадобятся нам в дальнейшем . Можно существенно упростить задачу, если считать жидкость идеальной; учет диссипации необходим главным образом для капиллярных и коротких гравитационных волн.
Считая смещения частиц жидкости малыми, можно ограничиться линейной задачей и пренебречь в уравнении Эйлера нелинейным членом что соответствует малости амплитуды волны по сравнению с ее длиной X. Тогда для несжимаемой жидкости волновое движение на ее поверхности без учета сил поверхностного натяжения определяется такой системой уравнений для потенциала (напомним, что :
Направлена вертикально вверх и соответствует невозмущенной поверхности жидкости).
Для неограниченной поверхности жидкости, глубина которой значительно больше длины волны, можно искать решение задачи в виде распространяющейся в положительном направлении х и затухающей с глубиной плоской неоднородной волны:
где - частота волны и волновое число, где - фазовая скорость. Подставляя это значение потенциала в уравнение (6.1), а также учитывая, что решения имеют смысл для , получаем выражение для потенциала:
а удовлетворяя граничному условию на поверхности жидкости дисперсионное уравнение
Таким образом, групповая скорость распространения гравитационной волны
тогда как фазовая скорость такой волны
Как видно, гравитационные волны обладают дисперсией; с увеличением длины волны их фазовая скорость растет.
Интересен вопрос о том, каково распределение скоростей частиц жидкости в волне; оно находится дифференцированием потенциала (6.3) по х.
Рис. 1.4. Дисперсионная кривая для гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды в области, где существенны и g, и а.
Рассмотрение показывает, что частицы жидкости в волне описывают движение приблизительно по окружности (вокруг своих равновесных точек ), радиус которых экспоненциально спадает с глубиной. На глубине, равной одной длине волны, ее амплитуда примерно в 535 раз меньше, чем вблизи поверхности. Приведенные результаты относились к волнам на глубокой воде, когда где h - глубина жидкости. Если имеет место противоположный случай (например, волны распространяются в канале конечной, но малой глубины), то
Как видно, такие волны дисперсией не обладают.
С учетом капиллярной силы Лапласа, обусловленной поверхностным натяжением 0,
т. е., в отличие от гравитационных, скорость капиллярных волн растет с уменьшением длины волны. Совместное действие силы тяжести и силы поверхностного натяжения определяется таким дисперсионным уравнением (глубокая вода):
На рис. 1.4 показана зависимость фазовой скорости распространения волн на поверхности жидкости от длины волны для воды согласно выражению (6.9). Из этого рисунка видно, что при см имеет место минимум скорости поверхностных волн, являющихся смешанными гравитационно-капиллярными волнами..
Приведенные результаты относились к одномерным линейным волнам в отсутствие диссипации. Кроме того, считалось, что волны регулярные и распространяются в одном направлении. Волны, возникающие при движении корабля в спокойной воде или при подходе к мелкому берегу, действительно представляют собой
регулярные возмущения. Волны же на поверхности жидкости, возникающие под действием ветра, преимущественно случайные - они движутся в разных направлениях и имеют разные частоты и амплитуды; именно такую картину мы наблюдаем, находясь на корабле в открытом море в ветренную погоду.
Затухание гравитационных волн с длинами волн более метра мало, но оно все же значительно больше, чем это следует из линейной теории. Это расхождение, очевидно, вызвано процессами, связанными с нелинейностью при распространении гравитационных и капиллярных волн. Так, если одиночная волна распространяется на мелкой воде с фазовой скоростью , то такая волна не обладает дисперсией. Ее профиль по мере распространения становится круче благодаря тому, что верхние частицы среды, для которых глубина h больше, чем для нижних частиц, будут двигаться с большей скоростью, согласно (6.7), и волна начнет захлестываться; при подходе к берегу волна обрушивается на него. Эффект захлестывания усиливается еще и потому, что при уменьшении глубины h возрастает амплитуда волны по закону сохранения лотока энергии плотность энергии возрастает из-за уменьшения поперечного сечения слоя воды. С ростом же нелинейные эффекты проявляются еще сильнее. Процесс «укручения» волн при их распространении происходит и на глубокой воде вследствие нелинейности уравнений движения. Теория нелинейных волн на ловерхности жидкости получила большое развитие в последнее время, хотя первые работы в этом направлении были сделаны еще в конце прошлого века.
Если имеется несколько волн, они нелинейно взаимодействуют друг с другом; принцип суперпозиции для волн конечной амплитуды уже не соблюдается. Условия нелинейного взаимодействия гравитационных волн, благодаря их дисперсионным свойствам, отличаются интересными особенностями, на которых мы здесь не имеем возможности остановиться. Отметим лишь, что реально существующее взаимодействие случайных волн конечной амплитуды в принципе объясняет значительно большее затухание волн на поверхности, чем это предсказывает линейная теория. Действует механизм поглощения за счет нелинейного взаимодействия; энергия из области малых волновых чисел (длинные волны) перекачивается в области все меньших длин волн и, наконец, - в капиллярную область спектра, где она в конечном счете диссипируется за счет вязкости, переходя в тепло .
В гл. 3 мы будем иметь дело с нелинейными звуковыми волнами и еще вернемся к вопросам взаимодействия волн на поверхности жидкости.
2. Механическая волна.
3. Источник механических волн.
4. Точечный источник волн.
5. Поперечная волна.
6. Продольная волна.
7. Фронт волны.
9. Периодические волны.
10. Гармоническая волна.
11. Длина волны.
12. Скорость распространения.
13. Зависимость скорости волны от свойств среды.
14. Принцип Гюйгенса.
15. Отражение и преломление волн.
16. Закон отражения волн.
17. Закон преломления волн.
18. Уравнение плоской волны.
19. Энергия и интенсивность волны.
20. Принцип суперпозиции.
21. Когерентные колебания.
22. Когерентные волны.
23. Интерференция волн. а) условие интерференционного максимума, б) условие интерференционного минимума.
24. Интерференция и закон сохранения энергии.
25. Дифракция волн.
26. Принцип Гюйгенса – Френеля.
27. Поляризованная волна.
29. Громкость звука.
30. Высота тона звука.
31. Тембр звука.
32. Ультразвук.
33. Инфразвук.
34. Эффект Доплера.
1.Волна – это процесс распространения колебаний какой-либо физической величины в пространстве. Например, звуковые волны в газах или в жидкостях представляют собой распространение колебаний давления и плотности в этих средах. Электромагнитная волна – это процесс распространения в пространстве колебаний напряженности электрического магнитного полей.
Энергию и импульс можно переносить в пространстве путём переноса вещества. Любое движущееся тело обладает кинетической энергией. Следовательно оно переносит кинетическую энергию, перенося вещество. Это же тело будучи нагретым, перемещаясь в пространстве переносит энергию тепловую, перенося вещество.
Частицы упругой среды связаны между собой. Возмущения, т.е. отклонения от положения равновесия одной частицы передаются соседним частицам, т.е. энергия и импульс передаются от одной частицы соседним частицам, при этом каждая частица остаётся около своего положения равновесия. Таким образом, энергия и импульс передаются по цепочке от одной частице к другой и переноса вещества при этом не происходит.
Итак, волновой процесс есть процесс переноса энергии и импульса в пространстве без переноса вещества.
2. Механическая волна или упругая волна – возмущение (колебание), распространяющееся в упругой среде. Упругой средой, в которой распространяются механические волны, является воздух, вода, дерево металлы и другие упругие вещества. Упругие волны называют звуковыми волнами.
3. Источник механических волн – тело, совершающее колебательное движение, находясь в упругой среде, например колеблющиеся камертоны, струны, голосовые связки.
4. Точечный источник волн – источник волны, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием, на которое распространяется волна.
5. Поперечная волна – волна, в которой частицы среды колеблются в направлении перпендикулярном к направлению распространения волны. Например, волны на поверхности воды – поперечные волны, т.к. колебания частиц воды происходят в направлении перпендикулярном направлению к поверхности воды, а волна распространяется по поверхности воды. Поперечная волна распространяется вдоль шнура, один конец которого закреплён, другой совершает колебания в вертикальной плоскости.
Поперечная волна может распространяться лишь по границе раздела дух разных сред.
6. Продольная волна – волна, в которой колебания происходят в направлении распространения волны. Продольная волна возникает в длинной спиральной пружине, если один её конец подвергается периодическим возмущениям, направленным вдоль пружины. Упругая волна, бегущая вдоль пружины представляет собой распространяющиеся последовательности сжатия и растяжения (Рис. 88)
Продольная волна может распространяться только внутри упругой среды например, в воздухе, в воде. В твёрдых телах и в жидкостях могут распространяться одновременно как поперечные, так и продольные волны, т.к. твёрдое тело и жидкость всегда ограничены поверхностью – поверхностью раздела двух сред. Например, если стальной стержень ударить в торец молотком, то в нём начнёт распространяться упругая деформация. По поверхности стержня побежит поперечная волна, а внутри него будет распространяться волна продольная (сжатия и разрежения среды) (Рис.89).
7. Фронт волны (волновая поверхность) – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах. На волновой поверхности фазы колеблющихся точек в рассматриваемый момент времени имеют одно и тоже значение. Если в спокойное озеро бросить камень, то по поверхности озера от места его падения начнут распространяться поперечные волны в виде окружности, с центром в месте падения камня. В этом примере фронт волны представляет собой окружность.
В сферической волне фронт волны есть сфера. Такие волны порождаются точечными источниками.
На очень больших расстояниях от источника можно пренебречь кривизной фронта и считать фронт волны плоским. В этом случае волна называется плоской.
8. Луч – прямая линиянормальная к волновой поверхности. В сферической волне лучи направлены вдоль радиусов сфер от центра, где расположен источник волн (Рис.90).
В плоской волне лучи направлены перпендикулярно к поверхности фронта (Рис. 91).
9. Периодические волны. Рассуждая о волнах мы подразумевали однократное возмущение, распространяющееся в пространстве.
Если же источник волн совершает непрерывные колебания, то в среде возникают бегущие одна за одной упругие волны. Такие волны называют периодическими.
10. Гармоническая волна – волна, порождаемая гармоническими колебаниями. Если источник волн совершает гармонические колебания, то он порождает гармонические волны – волны в которых частицы колеблются по гармоническому закону.
11. Длина волны. Пусть гармоническая волна распространяется вдоль оси OX, а колебания в ней происходят в направлении оси OY. Эта волна поперечная и её можно изобразить в виде синусоиды (Рис.92).
Такую волну можно получить, вызывая колебания в вертикальной плоскости свободного конца шнура.
Длиной волны называют расстояние между двумя ближайшими точками А и В, колеблющимися в одинаковых фазах (Рис. 92).
12. Скорость распространения волны – физическая величина численно равная скорости распространения колебаний в пространстве. Из Рис. 92 следует, что время за которое колебание распространяется от точки до точки А до точки В , т.е. на расстояние длины волны равно периоду колебаний. Поэтому скорость распространения волны равна
13. Зависимость скорости распространения волны от свойств среды . Частота колебаний при возникновении волны зависит только от свойств источника волны и не зависит от свойств среды. От свойств среды зависит скорость распространения волны. Поэтому длина волны изменяется при переходе границы раздела двух разных сред. Скорость волны зависит от связи между атомами и молекулами среды. Связь между атомами и молекулами в жидкостях и твёрдых телах значительно более жесткая, чем в газах. Поэтому скорости звуковых волн в жидкостях и твёрдых телах значительно больше, чем в газах. В воздухе скорость звука при нормальных условиях равна 340 , в воде 1500 , а в стали 6000 .
Средняя скорость теплового движения молекул в газах с понижением температуры уменьшается и как следствие скорость распространения волны в газах уменьшается. В среде более плотной, а следовательно более инертной, скорость волны меньше. Если звук распространяется в воздухе то его скорость зависит от плотности воздуха. Там, где плотность воздуха больше, там скорость звука меньше. И наоборот там, где плотность воздуха меньше там скорость звука больше. Вследствие этого при распространении звука фронт волны искажается. Над болотом или над озером особенно в вечернее время плотность воздуха вблизи поверхности из- за водяных паров больше чем на некоторой высоте. Поэтому скорость звука вблизи поверхности воды меньше, чем на некоторой высоте. Вследствие этого фронт волны разворачивается таким образом, что верхняя часть фронта всё больше изгибается в направлении к поверхности озера. Получается так, что энергия волны идущей вдоль поверхности озера и энергия волны идущей под углом к поверхности озера складываются. Поэтому в вечернее время звук хорошо распространяется на озером. Даже тихий раговор можно услышать, стоя на противоположном берегу.
14. Принцип Гюйгенса – каждая точка поверхности, которой достигла в данный момент волна является источником вторичных волн. Проведя поверхность касательную к фронтам всех вторичных волн, получим фронт волны в следующий момент времени.
Рассмотрим для примера волну, распространяющуюся по поверхности воды из точки О (Рис.93) Пусть в момент времени t фронт имел форму окружности радиуса R с центром в точке О . В следующий момент времени каждая вторичная волна будет иметь фронт в форме окружности радиуса , где V – скорость распространения волны. Проведя поверхность касательную к фронтам вторичных волн, получим фронт волны в момент времени (Рис. 93)
Если волна распространяется в сплошной среде, то фронт волны представляет собой сферу.
15. Отражение и преломление волн. При падении волны на поверхность раздела двух различных сред каждая точка этой поверхности согласно принципу Гюйгенса становится источником вторичных волн, распространяющихся по обе стороны от поверхности радела. Поэтому при переходе границы раздела двух сред волна частично отражается и частично проходит через эту поверхность. Т.к. среды различные, то и скорость волн в них различна. Поэтому при переходе границы раздела двух сред направление распространения волы изменяется, т.е. происходит преломление волны. Рассмотрим на основе принципа Гюйгенса процесс и законы отражения и преломления полн.
16. Закон отражения волн . Пусть на плоскую поверхность раздела двух различных сред падает плоская волна. Выделим в ней участок между двумя лучами и (Рис.94)
Угол падения – угол - между лучом падающим и перпендикуляром к поверхности раздела в точке падения.
Угол отражения – угол между лучом отраженным и перпендикуляром к поверхности раздела в точке падения.
В момент когда, луч достигнет поверхности раздела в точке , эта точка станет источником вторичных волн. Фронт волны в этот момент отмечен отрезком прямой АС (Рис.94). Следовательно, лучу еще предстоит в этот момент пройти до поверхности раздела путь СВ . Пусть луч проходит этот путь за время . Падающий и отраженный лучи распространяются по одну сторону о поверхности раздела поэтому их скорости одинаковы и равны V. Тогда .
За время вторичная волна из точки А пройдёт путь . Следовательно . Прямоугольные треугольники и равны, т.к. - общая гипотенуза и катеты . Из равенства треугольников и следует равенство углов . Но и , т.е. .
Теперь сформулируем закон отражения волн: луч падающий, луч отраженный , перпендикуляр к границе раздела двух сред, восставленный в точке падения лежат в одной плоскости; угол падения равен углу отражения .
17. Закон преломления волн . Пусть через плоскую границу раздела двух сред проходит плоская волна. Причём угол падения отличен от нуля (Рис.95).
Угол преломления – угол между лучом преломлённым и перпендикуляром к границе раздела, восставленным в точке падения.
Обозначим и скорости распространения волн в средах 1 и 2. В тот момент, когда луч достигнет границы раздела в точке А , эта точка станет источником волн, распространяющихся во второй среде – луч , а лучу ещё предстоит пройти путь до поверхности радела. Пусть - время, за которое луч проходит путь СВ, тогда . За это же время во второй среде луч пройдёт путь . Т.к. , то и .
Треугольники и прямоугольные с общей гипотенузой , и = , как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Для углов и запишем следующие равенства
Учитывая, что , , получим
Теперь сформулируем закон преломления волн: Луч падающий, луч преломлённый и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восставленный в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух данных сред и называется относительным показателем преломления для двух данных сред.
18. Уравнение плоской волны. Частицы среды, находящиеся на расстоянии S от источника волн начинают колебаться только тогда, когда до неё дойдет волна. Если V есть скорость распространения волны, то колебания начнутся с опозданием на время
Если источник волн колеблется по гармоническому закону то для частицы, находящейся на расстоянии S от источника, закон колебаний запишем в виде
Введём величину , называемую волновым числом. Оно показывает, сколько длин волн укладывается на расстоянии равном единиц длины. Теперь закон колебаний частицы среды находящейся на расстоянии S от источника запишем в виде
Это уравнение определяет смещение колеблющейся точки, как функции времени и расстояния от источника волн и называется уравнением плоской волны.
19. Энергия и интенсивность волны . Каждая частица, до которой дошла волна колеблется и следовательно обладает энергией. Пусть в некотором объёме упругой среды распространяется волна с амплитудой А и циклической частотой . Это значит, что средняя энергия колебаний в этом объёме равна
Где m – масса выделенного объёма среды.
Средняя плотность энергии (средняя по объёму) есть энергия волны в единице объёма среды
Где плотность среды.
Интенсивность волны – физическая величина, численно равная энергии, которую переносит волна за единицу времени через единицу площади плоскости перпендикулярной к направлению распространения волны (через единицу площади фронта волны), т.е.
Средняя мощность волны есть средняя полная энергия, переносимая волной за единицу времени через поверхность с площадью S . Среднюю мощность волны получим, умножив интенсивность волны на площадь S
20.Принцип суперпозиции (наложения). Если в упругой среде распространяются волны от двух и более источников, то как показывают наблюдения, волны проходят одна через другую совершенно не влияя друг на друга. Иными словами волны не взаимодействуют друг с другом. Это объясняется тем что в пределах в пределах упругой деформации сжатия и растяжения в одном направлении никоим образом не влияют на упругие свойства по другим направлениям.
Таким образом, каждая точка среды куда приходят две и более волны принимает участие в колебаниях, вызванных каждой волной. При этом результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической суммой смещений, вызываемых каждым из складывающихся колебательных процессов. В этом и состоит суть принципа суперпозиции или наложения колебаний.
Результат сложения колебаний зависит от амплитуды, частоты и разности фаз складывающихся колебательных процессов.
21. Когерентные колебания – колебания с одинаковой частотой и постоянной в времени разностью фаз.
22.Когерентные волны – волны одинаковой частоты или одинаковой длины волны, разность фаз которых в данной точке пространства остаётся постоянной во времени.
23.Интерференция волн – явление увеличения или уменьшения амплитуды результирующей волны при наложении двух и более когерентных волн.
а) .Условия интерференционного максимума. Пусть волны от двух когерентных источников и встречаются в точке А (Рис.96).
Смещения частиц среды в точке А , вызванные каждой волной в отдельности запишем согласно уравнению волны в виде
Где и , , - амплитуды и фазы колебаний, вызванных волнами в точке А , и - расстояния точки, - разность эти расстояний или разность хода волн.
Из-за разности хода волн вторая волна запаздывает по сравнению с первой. Это значит, что фаза колебаний в первой волне опережает фазу колебаний во второй волне, т.е. . Их разность фаз остается постоянной во времени.
Для того, чтобы в точке А частицы совершали колебания с максимальной амплитудой, гребни обеих волн или их впадины должны достигнуть точки А одновременно в одинаковых фазах или с разностью фаз равной , где n – целое число, а - есть период функций синуса и косинуса,
Здесь , поэтому условие интерференционного максимума запишем в виде
Где - целое число .
Итак, при наложении когерентных волн амплитуда результирующего колебания максимальна, если разность хода волн равна целому числу длин волн.
б) Условие интерференционного минимума . Амплитуда результирующего колебания в точке А минимальна, если в эту точку одновременно придут гребень и впадина двух когерентных волн. Это значит, сто волны придут в эту точку в противофазе, т.е. разность их фаз равна или , где целое число.
Условие интерференционного минимума получим, проведя алгебраические преобразования:
Таким образом, амплитуда колебаний при наложении двух когерентных волн минимальна, если разность хода волн равна нечетному числу полуволн.
24. Интерференция и закон сохранения энергии. При интерференции волн в местах интерференционных минимумов энергия результирующих колебаний меньше, чем энергия интерферирующих волн. Но в местах интерференционных максимумов энергия результирующих колебаний превышает сумму энергий интерферирующих волн настолько, насколько уменьшилась энергия в местах интерференционных минимумов.
При интерференции волн энергия колебаний перераспределяется в пространстве, но закон сохранения строго выполняется.
25.Дифракция волн – явление огибания волной препядствия, т.е. отклонение от прямолинейного распространения волн.
Дифракция особенно хорошо заметна в случае, когда размеры препядствия меньше длины волны или сравнимы с ней. Пусть на пути распространения плоской волны расположен экран с отверстием, диаметр которого сравним с длиной волны (Рис. 97).
По принципу Гюйгенса каждая точка отверстия становится источником таких же волн. Размер отверстия настолько мал, что все источники вторичных волн расположены так близко друг к другу, что их все можно считать одной точкой – одним источником вторичных волн.
Если на пути волны поставить препядствие, размер которого сравним с длиной волны, то края по принципу Гюйгенса становятся источником вторичных волн. Но размеры препядствия настолько малы, что края его можно считать совпадающими, т.е. само препядствие является точечным источником вторичных волн (Рис.97).
Явление дифракции легко наблюдается при распространении волн по поверхности воды. Когда волна достигает тонкой, неподвижной палочки, она становится источником волн (Рис. 99).
25. Принцип Гюйгенса-Френеля. Если же размеры отвепстия значительно превышают длину волны, то волна, проходя отверстие распространяется прямолинейно (Рис.100).
Если размеры препядствия значительно превышают длину волны, то за препядствием образуется зона тени (Рис.101). Эти опыты противоречат принципу Гюйгенса. Французский физик Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением о когерентости вторичных волн. Каждая точка, в которую пришла волна становится источником таких же волн, т.е. вторичных когерентных волн. Поэтому волны отсутствуют только в тех местах, в которых для вторичных волн выполняются условия интерференционного минимума.
26. Поляризованная волна – поперечная волна, в которой колебания всех частиц происходят в одной плоскости. Если свободный конец шнура совершает колебания в одной плоскости, то по шнуру распространяется плоскополяризованная волна. Если свободный конец шнура совершает колебания в различных направлениях, то волна распрстраняющаяся по шнуру не пеоляризована. Если на пути неполяризованной волны поставить препядствие в виде узкой щели, то после прохождении щели волна становится поляризованной, т.к. щель пропускает колебания шнура, происходящие вдоль неё.
Если на пути поляризованной волны поставить вторую щель параллельную первой, то волна свободно пройдет через неё (Рис.102).
Если же вторую щель расположить под прямым углом по отношению к первой, то распространение волы прекратится. Устройство, которое выделяет колебания, происходящие в одной определённой плоскости называется поляризатором (первая щель). Устройство, которое определяет плоскость поляризации называется анализатором.
27.Звук – это процесс распространения сжатий и разрежений в упругой среде например, в газе, жидкости или в металлах. Распространение сжатий и разрежений происходит в результате столкновения молекул.
28. Громкость звука это сила воздействия звуковой волны на барабанную перепонку человеческого уха, которая от звукового давления.
Звуковое давление – это дополнительное давление, возникающее в газе или жидкости при распространении звуковой волны. Звуковое давление зависит от амплитуды колебании источника звука. Если заставить звучать камертон лёгким ударом, то мы получим одну громкость. Но, если камертон ударить сильнее, то амплитуда его колебаний увеличится и он зазвучит громче. Таким образом громкость звука определяется амплитудой колебании источника звука, т.е. амплитудой колебаний звукового давления.
29. Высота тона звука определяется частотой колебаний. Чем больше частота звука, тем выше тон.
Звуковые колебания происходящие по гармоническому закону воспринимаются как музыкальный тон. Обычно звук это сложный звук, который представляет собой совокупность колебаний с близкими частотами.
Основной тон сложного звука – это тон соответствующий наименьшей частоте в наборе частот данного звука. Тоны соответствующие остальным частотам сложного звука называются обертонами.
30. Тембр звука . Звуки одним и тем же основным тоном различаются тембром, который определяется набором обертонов.
У каждого человека свой только ему присущий тембр. Поэтому мы всегда можем отличить голос одного человека от голоса другого человека, даже в том случае, когда их основные тоны одинаковы.
31.Ультразвук . Человеческое ухо воспринимает звуки, частоты которых заключены в пределах от 20Гц до 20000Гц.
Звуки с частотами более 20000Гц называются ультразвуками. Ультразвуки распространяются в виде узких пучков и используются в гидролокации и дефектоскопии. С помощью ультразвука можно определить глубину морского дна и обнаружить дефекты в различных деталях.
Например, если рельс не имеет трещин, то ультразвук испущенный из одного конца рельса, отразившись от другого его конца даст только одно эхо. Если же есть трещины, то ультразвук будет отражаться от трещин и приборы будут фиксировать несколько эхо. С помощью ультразвука обнаруживают подводные лодки, косяки рыб. Летучая мышь ориентируется в пространстве с помощью ультразвука.
32. Инфразвук – звук с частотой ниже 20Гц. Эти звуки воспринимаются некоторыми животными. Их источником часто бывают колебания земной коры при землетрясениях.
33. Эффект Доплера – это зависимость частоты воспринимаемой волны от движения источника или приёмника волн.
Пусть на поверхности озера покоится лодка и волны бьются о её борт с некоторой частотой . Если лодка начнёт движение против направления распространения волн, то частота ударов волн о борт лодки станет больше. Причём, чем больше скорость лодки, тем больше частота ударов волн о борт. И наоборот при движении лодки в направлении распространения волн частота ударов станет меньше. Эти рассуждения легко понять из Рис. 103.
Чем больше скорость встречного движения, тем меньшее время затрачивается на прохождение расстояния между двумя ближайшими гребнями, т.е. тем меньше период волны и тем больше частота волны относительно лодки.
Если же наблюдатель неподвижен, но движется источник волн, то частота волны воспринимаемая наблюдателем зависит от движения источника.
Пусть по неглубокому озеру по направлению к наблюдателю идет цапля. Каждый раз, когда она опускает ногу в воду от этого места кругами расходятся волны. И каждый раз расстояние между первой и последней волнами уменьшается, т.е. на меньшем расстоянии укладывается большее число гребней и впадин. Поэтому для неподвижного наблюдателя по направлению к которому идет цапля частота увеличивается. И наоборот для неподвижного наблюдателя, находящегося в диаметрально противоположной точке на большем расстоянии столько же гребней и впадин. Поэтому для этого наблюдателя частота уменьшается (Рис.104).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор, называется вектором потока. (Для упругих волн – вектор Умова).
Теория про уравнение бегущей волны
Когда мы говорим о движении тела, то имеем в виду перемещение в пространстве его самого. В случае же волнового движения речь идет не о перемещении среды или поля, а о перемещении возбужденного состояния среды или поля. В волне определенное состояние, сначала локализованное в одном месте пространства, передается (перемещается) в другие, соседние точки пространства.
Состояние среды или поля в данной точке пространства характеризуется одним или несколькими параметрами. Такими параметрами, например, в волне, образуемой на струне, является отклонение данного участка струны от положения равновесия (х), в звуковой волне в воздухе — это величина, характеризующая сжатие или расширение , в — это модули векторов и . Важнейшим понятием для любой волны является фаза. Под фазой понимается состояние волны в данной точке и в данный момент времени, описанное соответствующими параметрами. Например, фаза электромагнитной волны задается модулями векторов и . Фаза от точки к точке меняется. Таким обpазом, фаза волны в математическом смысле есть функция координат и времени. С понятием фазы связано понятие волновой поверхности. Это поверхность, все точки которой в данный момент времени находятся в одной и той же фазе, т.е. это поверхность постоянной фазы.
Понятия волновой поверхности и фазы позволяют провести некоторую классификацию волн по характеру их поведения в пространстве и времени. Если волновые поверхности перемещаются в пространстве (например, обычные волны на поверхности воды), то волна называется бегущей.
Бегущие волны можно разделить на: и цилиндрические.
Уравнение бегущей плоской волны
В экспоненциальной форме уравнение сферической волны имеет вид:
где 
– комплексная амплитуда. Везде, кроме особой точки r=0, функция x удовлетворяет волновому уравнению .
Уравнение цилиндрическое бегущей волны:
где r – расстояние от оси.
где 
– комплексная амплитуда.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Плоская незатухающая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты источника a. Напишите уравнение колебаний источника x(0,t), если в начальный момент смещение точек источника максимально. |
| Решение | Запишем уравнение бегущей волны, зная, что она плоская:
Используем в записи уравнения w=, запишем (1.1) в начальный момент времени (t=0): Из условий задачи известно, что в начальный момент смещение точек источника максимально. Следовательно, . Получим: , отсюда в точке, где расположен источник (т.е. при r=0). |