Как следует из примера изучения колебательного движения материальной точки, собственное движение системы вызывается упругой силой. Ранее было показано, что упругая сила принадлежит к потенциальному силовому полю. Следовательно, переходя к изучению собственных колебательных движений механических систем, следует предположить, что такие движения вызываются силами потенциального поля. Отсюда, если система обладает s степенями свободы, то обобщенные силы ее запишутся через силовую функцию U или потенциальную энергию П в виде:
Как следует из изучения движения точки, колебания ее происходят около положения равновесия. Колебательное движение системы также будет происходить около положения ее равновесия, которое характеризуется условиями.
Эти условия указывают на то, что колебательные движения системы могут происходить около положений, характеризуемых относительным экстремумом силовой функции или потенциальной энергии системы. Однако не около всякого положения равновесия возможно колебательное движение системы.
Определение устойчивого положения равновесия механической системы
Пусть механическая система состоит из материальных точек, которые находятся в равновесии под действием приложенных к ним сил. Дадим точкам этой системы малые отклонения от положения равновесия и малые начальные скорости. Тогда система придет в движение. Если во все время, следующее за нарушением равновесия, точки системы остаются в непосредственной близости к своему равновесному положению, то это положение называется устойчивым. В противном случае равновесие системы называется неустойчивым. Говорить о колебаниях системы можно только в том случае, когда эти колебания происходят около положения устойчивого равновесия. Если положение системы неустойчиво, т. е. если при малом отклонении от положения равновесия и малых скоростях система отходит от него еще дальше, то нельзя говорить о колебаниях системы вблизи этого положения. Следовательно, изучение колебаний системы следует начать с установления критерия устойчивости равновесия механической системы.
Критерий устойчивости равновесия консервативной механической системы
Критерий устойчивости равновесия консервативной системы устанавливает теорема Лагранжа - Дирихле, которая состоит в следующем: если механическая система обладает стационарными связями и консервативна и если в положении равновесия этой системы ее потенциальная энергия имеет минимум (т. е. силовая функция имеет максимум), то равновесие системы является устойчивым.
Докажем эту теорему. Пусть положение механической системы определяется обобщенными координатами которые отсчитываются от положения равновесия. Тогда в этом положении будем иметь:
Величины можно рассматривать как координаты точки в -мерном пространстве. Тогда каждому положению системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. В частности, положению равновесия будет соответствовать начало координат О.
Потенциальную энергию П будем отсчитывать от положения равновесия, полагая, что в этом положении что не нарушает общности рассуждений, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной.
Зададимся каким-нибудь положительным числом и опишем из точки О сферу радиуса . Область, ограничиваемую этой сферой, обозначим через Число будем считать произвольным, но достаточно малым. Тогда для любой точки на границе области D будет выполняться неравенство:
так как в точке О функция П равна нулю и имеет минимум.
Пусть наименьшее значение П на границе области D равно Р. Тогда для любой точки, принадлежащей этой границе, будем иметь
Выведем теперь систему из положения равновесия, сообщив ее точкам столь малые начальные отклонения и столь малые начальные скорости, чтобы выполнялись неравенства:
где - начальные значения потенциальной и кинетической энергии. Тогда будем иметь:
Но при дальнейшем движении системы в силу закона сохранения механической энергии, который справедлив для консервативных систем со стационарными связями, будет выполняться равенство.
Позволяет провести анализ общих закономерностей движения, если известна зависимость потенциальной энергии от координат. Рассмотрим для примера одномерное движение материальной точки (частицы), вдоль оси 0x в потенциальном поле, показанном на рис. 4.12.
Рис.4.12. Движение частицы вблизи положений устойчивого и неустойчивого равновесия
Поскольку в однородном поле сил тяжести потенциальная энергия пропорциональна высоте подъема тела, можно представить себе ледяную горку (пренебрегаем трением) с профилем, соответствующим функции П(x) на рисунке.
Из закона сохранения энергии E = К + П и из факта, что кинетическая энергия К = Е - П всегда неотрицательна, следует, что частица может находиться лишь в областях, где E > П . На рисунке частица с полной энергией E может двигаться только в областях
В первой области ее движение будет ограничено (финитно): при данном запасе полной энергии частица не может преодолеть «горок» на своем пути (их называют потенциальными барьерами ) и обречена вечно оставаться в «долине» между ними. Вечно - с точки зрения классической механики, которую мы сейчас изучаем. В конце курса мы увидим, как квантовая механика помогает частице выбраться из заточения в потенциальной яме - области
Во второй области движение частицы не ограничено (инфинитно), она может удалиться бесконечно далеко от начала координат направо, но слева ее движение по-прежнему ограничено потенциальным барьером:
Видео 4.6. Демонстрация финитного и инфинитного движений.
В точках экстремума потенциальной энергии x MIN и x MAX сила, действующая на частицу, равна нулю, потому что равна нулю производная потенциальной энергии:
Если поместить в эти точки покоящуюся частицу, то она оставалась бы там... опять-таки вечно, если бы не флуктуации ее положения. В этом мире нет ничего строго покоящегося, частица может испытывать небольшие отклонения (флуктуации ) от положения равновесия. При этом, естественно, возникают силы. Если они возвращают частицу к положению равновесия, то такое равновесие называется устойчивым . Если же при отклонении частицы возникающие силы еще дальше уводят ее от равновесного положения, то мы имеем дело с неустойчивым равновесием, и частица в таком положении обычно долго не задерживается. По аналогии с ледяной горкой можно догадаться, что устойчивым будет положение в минимуме потенциальной энергии, а неустойчивым - в максимуме.
Докажем, что это действительно так. Для частицы в точке экстремума x M (x MIN или x MAX ) действующая на нее сила F x (x M) = 0 . Пусть вследствие флуктуации координата частицы изменяется на небольшую величину x . При таком изменении координаты на частицу начнет действовать сила
(штрихом обозначена производная по координате x ). Учитывая, что F x =-П" , получаем для силы выражение
В точке минимума вторая производная потенциальной энергии положительна: U"(x MIN) > 0 . Тогда при положительных отклонениях от положения равновесия x > 0 возникающая сила отрицательна, а при x <0 сила положительна. В обоих случаях сила препятствует изменению координаты частицы, и положение равновесия в минимуме потенциальной энергии устойчиво.
Наоборот, в точке максимума вторая производная отрицательна: U"(x MAX)<0 . Тогда увеличение координаты частицы Δx приводит к возникновению положительной же силы, еще больше увеличивающей отклонение от положения равновесия. При x <0 сила отрицательна, то есть и в этом случае способствует дальнейшему отклонению частицы. Такое положение равновесия неустойчиво.
Таким образом, положение устойчивого равновесия может быть найдено при совместном решении уравнения и неравенства
Видео 4.7. Потенциальные ямы, потенциальные барьеры и равновесие: устойчивое и неустойчивое.
Пример . Потенциальная энергия двухатомной молекулы (например, Н 2 или О 2 ) описывается выражением вида
где r - расстояние между атомами, а A , B - положительные постоянные. Определить равновесное расстояние r М между атомами молекулы. Устойчива ли двухатомная молекула?
Решение . Первый член описывает отталкивание атомов на малых расстояниях (молекула сопротивляется сжатию), второй - притяжение на больших расстояниях (молекула сопротивляется разрыву). В соответствии со сказанным, равновесное расстояние находится при решении уравнения
Дифференцируя потенциальную энергию, получаем
Находим теперь вторую производную потенциальной энергии
и подставляем туда значение равновесного расстояния r M :
Положение равновесия устойчиво.
На рис. 4.13 представлен опыт по изучению потенциальных кривых и условий равновесия шарика. Если на модели потенциальной кривой поместить шарик на высоту большую высоты потенциального барьера (энергия шарика больше энергии барьера), то шарик преодолевает потенциальный барьер. Если начальная высота шарика меньше высоты барьера, то шарик остается в пределах потенциальной ямы.
Шарик, помещенный в наивысшую точку потенциального барьера, находится в неустойчивом равновесии, поскольку любое внешнее воздействие приводит к переходу шарика в нижнюю точку потенциальной ямы. В нижней точке потенциальной ямы шарик находится в устойчивом равновесии, поскольку любое внешнее воздействие приводит к возвращению шарика в нижнюю точку потенциальной ямы.
Рис. 4.13. Экспериментальное изучение потенциальных кривых
Дополнительная информация
http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF – Приложение к журналу «Квант» - рассуждения об устойчивом и неустойчивом равновесии (А. Леонович);
http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики, Изд,Высшая школа, 1986 г. – стр. 11–15, §2 – исходные положения статики.
Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение. Колебания - это повторяющиеся движения механической системы относительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени. В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного) .
Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.
5.1. Условия равновесия механических систем
Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:
где Q j - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;
s - число обобщенных координат в механической системе.
Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.
Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (5.1) получаем следующие условия равновесия:
(5.2)
Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
5.2. Устойчивость равновесия
Определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX века в работах русского ученого А. М. Ляпунова . Рассмотрим это определение.
Для упрощения выкладок условимся в дальнейшем обобщенные координаты q 1 , q 2 ,..., q s отсчитывать от положения равновесия системы:
,
где
Положение равновесия называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно найти такое другое число ( ) > 0 , что в том случае, когда начальные значения обобщенных координат и скоростей не будут превышать :
значения обобщенных координат и скоростей при дальнейшем движении системы не превысят
.
Иными словами, положение равновесия
системы q
1
= q
2
= ...= q
s
=
0
называется
устойчивым
,
если всегда можно найти такие достаточно
малые начальные значения
, при которых движение системы
не будет выходить из любой заданной
сколь угодно малой окрестности положения
равновесия
.
Для системы с одной степенью свободы
устойчивое движение системы можно
наглядно изобразить в фазовой плоскости
(рис. 5.1). Для устойчивого положения
равновесия движение изображающей точки,
начинающееся в области
[-
,
]
,
не будет в дальнейшем выходить за пределы
области [-
,
]
.
Положение равновесия называетсяасимптотически устойчивым , если с течением времени система будет приближаться к положению равновесия, то есть
Определение условий устойчивости положения равновесия представляет собой достаточно сложную задачу [ 4 ], поэтому ограничимся простейшим случаем: исследованием устойчивости равновесия консервативных систем.
Достаточные условия устойчивости положений равновесия для таких систем определяются теоремой Лагранжа - Дирихле : положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум .
Потенциальная энергия механической системы определяется с точностью до постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равновесия потенциальная энергия равнялась нулю:
П(0)= 0.
Тогда для системы с одной степенью свободы достаточным условием существования изолированного минимума, наряду с необходимым условием (5.2), будет условие
Так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум и П(0) = 0 , то в некоторой конечной окрестности этого положения
П(q) > 0 .
Функции, имеющие постоянный знак и равные нулю только при нулевых значениях всех своих аргументов, называются знакоопределенными. Следовательно, для того, чтобы положение равновесия механической системы было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этого положения потенциальная энергия была положительно определенной функцией обобщенных координат.
Для линейных систем и для систем, которые можно свести к линейным при малых отклонениях от положения равновесия (линеаризовать), потенциальную энергию можно представить в виде квадратичной формы обобщенных координат [ 2, 3, 9 ]
(5.3)
где
- обобщенные коэффициенты жесткости.
Обобщенные
коэффициенты
являются постоянными числами, которые
могут быть определены непосредственно
из разложения потенциальной энергии в
ряд или по значениям вторых производных
от потенциальной энергии по обобщенным
координатам в положении равновесия:
(5.4)
Из формулы (5.4) следует, что обобщенные коэффициенты жесткости симметричны относительно индексов
Для того, чтобы выполнялись достаточные условия устойчивости положения равновесия, потенциальная энергия должна быть положительно определенной квадратичной формой своих обобщенных координат.
В математике существует критерий Сильвестра , дающий необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичных форм: квадратичная форма (5.3) будет положительно определенной, если определитель, составленный из ее коэффициентов, и все его главные диагональные миноры будут положительными, т.е. если коэффициенты c ij будут удовлетворять условиям
D 1 = c 11 > 0,
D
2
=
> 0
,
D
s
=
>
0,
В частности, для линейной системы с двумя степенями свободы потенциальная энергия и условия критерия Сильвестра будут иметь вид
П
=
(),
Аналогичным образом можно провести исследование положений относительного равновесия, если вместо потенциальной энергии ввести в рассмотрение потенциальную энергию приведенной системы [ 4 ].
Известно, что для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы или. (7)
Поскольку вариации обобщённых
координат являются независимыми друг
от друга и, в общем случае, не равны нулю,
нужно, чтобы
,
,…,
.
Для равновесия системы с голономными удерживающими, стационарными, идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщённые силы, соответствующие выбранным обобщёным координатам были бы равны нулю.
Случай потенциальных сил:
Если система находится в потенциальном силовом поле, то
,
,…,
,
,…,
То есть положения равновесия системы могут быть только при тех значениях обобщённых координат, при которых силовая функция U и потенциальная энергия П имеют экстремальные значения (max или min ).
Понятие об устойчивости равновесия.
Определив положения, в которых система может находиться в равновесии, можно определить какие из этих положений реализуемые, а какие нереализуемые, то есть определить: какое положение является является устойчивым, а какое – неустойчивым.
В общем случае необходимый признак устойчивости равновесия по Ляпунову можно сформулировать следующим образом:
Выведем систему из положения равновесия, сообщив небольшие по модулю значения обобщённых координат и их скоростям. Если при дальнейшем рассмотрении системы обобщённые координаты и их скорости будут оставаться по модулю малымивеличинами, то есть система не будет далеко отклоняться от положения равновесия, то такое положение равновесия – устойчиво.
Достаточное условие устойчивости равновесия системы определяется теоремой Лагранжа-Дирихля :
Если в полодении равновесия механической системы с идеальными связями потенциальная энергия имеет минимальное значение, то такое положение равновесия – устойчивое.
,
- устойчивое.
Рассмотрю материальную точку, движение которой ограничено таким образом, что она имеет лищь одну степень свободы.
Это означает, что ее положение может быть определено с помощью одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно, изогнутой в вертикальной плоскости проволоке (рис. 26.1, а).
Другим примером может служит прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий без трения до горизонтальной направляющей (рис. 26.2, а).
На шарик действует консервативная сила: в первом случае это сила тяжести, во втором - упругая сила деформированной пружины. Графики потенциальной энергии показаны на рис. 26.1, б и 26.2, б.
Поскольку шарики движутся по проволоке без трения, сила, с которой проволока действует на шарик, в обоих случаях перпендикулярна к скорости шарика и, следовательно, работы над шариком не совершает. Поэтому имеет место сохранение энергии:
Из (26.1) следует, что, кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потешдаалыюй энергии. Поэтому, если шарик находится в таком состоянии, что его скорость равна нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне он не сможет прийти в движение, т. е. будет находиться в равновесии.
Минимумам U соответствуют на графиках значения равные (на рис. 26.2 есть длина недеформированной дружины) Условие минимума потенциальной энергии имеет вид
В соответствии t (22.4) условие (26.2) равнозначно тому, что
(в случае, когда U является функцией только одной переменной, ). Таким образом, положение, соответствующее минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что сила, действующая на тело, равна нулю.
В случае, - изображенном на рис. 26.1, условия (26.2) и (26.3) выполняются также для х, равного (т. е. для максимума U). Определяемое этим значением положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при будет неустойчивым: достаточно слегка вывести, шарик из этого положения как возникает сила, которая будет удалять шарик от положения . Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивого равновесия (для которого ), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.
Зная вид t функции, которой выражается потенциальная энергия, можно сделать ряд заключений о характере движения частищл. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. 26.1, б. Если полная энергия имеет значение, указанное На рисунке, то частица может совершать движение либо в пределах от до либо в пределах от до бесконечности. В области частица проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может, стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной). Такрм образом, область представляет собой потенциальный барьер, через который частица не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Область называется потенциальной ямой.
Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, движение называется финитным. Если же частица может уходить сколь угодно далеко, движение называют инфинитным. Частица в потенциальной яме совершает финитное движение. Финитным будет также движение частицы с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения (предполагается, что потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности).