Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) f (x 0 ) называется приращением функции .Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0 )). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0 ) имеет вид:
y = f ’(x 0 ) · x + b .
Чтобы найти b , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,
отсюда, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :
y = f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · (x – x 0 ) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t 0 ) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0 ) = x’ (t 0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
8.Таблица производных и правила дифференцирования
О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) - f (x 0)называется приращением функции . Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
Где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид:
y = f ’(x 0) · x + b .
Чтобы найти b ,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b ,
отсюда, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :
y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) - x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t 0) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0) = x’ (t 0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
Примеры задач
Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций и .
Прямая является общей касательной графиков функций и , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.
- уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке с абсциссой x0
- уравнение касательной к графику функции y=x3 в точке с абсциссой x1
Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда
Решением системы будут
Уравнения общих касательных имеют вид:
16. Правила дифференцирования. Производные сложной, обратной и неявной функции.
Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную:
Правило дифференцирования суммы функций:
Правило дифференцирования разности функций:
Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):
Правило дифференцирования частного функций:
Правило дифференцирования функции в степени другой функции:
Правило дифференцирования сложной функции:
Правило логарифма при дифференцировании функции:
Производная сложной функции |
"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование". |
Пример 1 |
Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем |
Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) f (x 0 ) называется приращением функции .Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0 )). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0 ) имеет вид:
y = f ’(x 0 ) · x + b .
Чтобы найти b , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,
отсюда, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :
y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · (x – x 0 ) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) x (t 0) = , а её средняя скорость равна:v a = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t 0 ) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда,v (t 0 ) = x’ (t 0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
8.Таблица производных и правила дифференцирования
О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.
§ 2. Определение производной.
Пусть функция y
=
f
(x
)
определена на интервале (a
;b
). Рассмотрим значение аргумента
(a
;b
)
. Дадим аргументу приращение∆
x0, так чтобы выполнялось условие (x
0
+∆
x
)
a
;b
). Обозначим соответствующие значения функции через y 0 иy 1:
y 0 = f (x 0 ), y 1 = f (x 0 +∆ x ). При переходе отx 0 кx 0 +∆ x функция получит приращение
∆y = y 1 - y 0 = f (x 0 +∆ x ) -f (x 0 ). Если при стремлении∆ x к нулю существует предел отношения приращения функции∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆ x ,
т.е. существует предел
=
,
то этот предел называется производной функции y = f (x ) в точкеx 0 . Итак, производная функцииy = f (x ) в точкеx =x 0 есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функцииy = f (x ) в точкеx обозначается символами(x ) или (x ). Используются также обозначения , , , . В последних трёх обозначениях подчёркивается то обстоятельство, что производная берётся по переменнойx .
Если функция y = f (x ) имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале производная (x ) есть функция аргументаx .
§ 3. Механический и геометрический смысл производной.
Уравнения нормали и касательной к графику функции.
Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть
v = .
Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного путиS по времениt ,
v = . Таким образом, если функцияy = f (x ) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, гдеy есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения до момента времениx , то производная (x ) определяет мгновенную скорость точки в момент времениx . В этом и заключается механический смысл производной.
В § 1 был найден также угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x ) k = tg α= . Это соотношение означает, что угловой коэффициент касательной равен производной (x ). Говоря более строго, производная (x ) функцииy = f (x ) , вычисленная при значении аргумента, равномx , равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равнаx . В этом состоит геометрический смысл производной.
Пусть при x =x 0 функцияy = f (x ) принимает значениеy 0 =f (x 0 ) , и график этой функции имеет касательную в точке с координатами (x 0 ;y 0). Тогда угловой коэффициент касательной
k = (x 0). Используя известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (y -y 0 =k (x -x 0)), запишем уравнение касательной:
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент k норм связан с угловым коэффициентом касательнойk известным из аналитической геометрии соотношением:k норм = ─ , т.е. для нормали, проходящей через точку с координатами (x 0 ;y 0),k норм = ─ . Следовательно, уравнение этой нормали имеет вид:
(при условии, что
).
§ 4. Примеры вычисления производной.
Для того чтобы вычислить производную функции y = f (x ) в точкеx , необходимо:
Аргументу x дать приращение ∆x ;
Найти соответствующее приращение функции ∆y =f (x +∆x ) -f (x );
Составить отношение ;
Найти предел этого отношения при ∆x →0.
Пример 4.1. Найти производную функции y =C=const.
Аргументу x даём приращение ∆ x .
Каково бы ни было x , ∆y =0: ∆y =f (x +∆x ) ─f (x )=С─С=0;
Отсюда =0 и =0, т.е. =0.
Пример 4.2. Найти производную функции y =x .
∆ y =f (x +∆x ) ─f (x )= x +∆x – x =∆ x ;
1, =1, т.е. =1.
Пример 4.3. Найти производную функции y =x 2.
∆ y = (x +∆ x )2–x 2= 2 x ∙∆ x + (∆ x )2;
= 2 x + ∆ x , = 2 x , т.е. =2x .
Пример 4.4. Найти производную функции y=sinx .
∆ y =sin(x +∆x ) – sin x = 2sin cos(x +);
=
;
=
= cosx
, т.е. = cos x.
Пример 4.5. Найти производную функции y
=
.
=
, т.е. = .
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t , где s – путь, пройденный к моменту времени t , v – скорость равномерного движения.
Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t , т.е. будет функцией времени.
Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).
Отметим некоторый момент времени t 0 . К этому моменту точка прошла путь s=s(t 0 ). Определим скорость v материальной точки в момент времени t 0 .
Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t 0 + Δt . Ему соответствует пройденный путь s=s(t 0 + Δt ). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t 0 + Δt) –s(t).
Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt . Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в моментt 0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt .
Итак, скоростью движения в данный момент времени t 0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t 0 до t 0 +Δt , когда Δt →0:
,
т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М 0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M 0 M . Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М 0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М 0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М 0 Т , то прямая М 0 Т называется касательной к кривой в данной точке М 0 .
Т.о., касательной к кривой в данной точке М 0 называется предельное положение секущей М 0 М , когда точка М стремится вдоль кривой к точкеМ 0 .
Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х 0 функция принимает значение y 0 =f(x 0). Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М 0 (x 0 ; y 0). Дадим аргументу x 0 приращение Δх . Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y 0 +Δ y=f(x 0 –Δx) . Получаем точку М(x 0 +Δx ; y 0 +Δy). Проведем секущую М 0 М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox . Составим отношение и заметим, что .
Если теперь Δx →0, то в силу непрерывности функции Δу →0, и поэтому точка М , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М 0 . Тогда секущая М 0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М 0 , а угол φ→α при Δx →0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox . Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:
т.е. f "(x) = tg α .
Т.о., геометрически у "(x 0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x 0 , т.е. при данном значении аргумента x , производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М 0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.
Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х 2 в точке М (-1; 1).
Ранее мы уже видели, что (x 2)" = 2х . Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y "| x=-1 = – 2.
Геометрический, механический, экономический смыл производной
Определение производной.
Лекция №7-8
Список используемой литературы
1 Ухоботов, В. И. Математика: Учебное пособие.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006.- 251 с.
2 Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
3 Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
Тема «Производная»
Цель: объяснить понятие производной, проследить зависимость междунепрерывностью и дифференцируемостью функции, показать применимость использования производной на примерах.
.Этот предел в экономике называется предельными издержками производства.
Определение производной. Геометрический и механический смысл производной, уравнение касалельной к графику функции.
Нужен краткий ответ (без лишней воды)
Мертвый_белый_снег
Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.
Геометрический?
Касательная к функции в точке... .
Условие возрастания функции: f " (x) > 0.
Условие убывания функции: f " (x) < 0.
Точка перегиба (необходимое условие) : f " " (x0) = 0.
Выпуклость вверх: f " " (x) Выпуклость вниз: f " " (x) >0
Уравнение нормали: у=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Механический?
скорость это производная по расстоянию, ускорение производная по скорости и вторая производна по расстоянию.. .
Уравнение касательной к графику функции f в точке x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)
Пользователь удален
Если сеществует предел отношения дельта y к дельта x приращения функции дельта y к вызвавшему его приращению аргумента дельта x, когда дельта x стремиться к нулю, то этот предел называется производной функции y = f(x) в данной точке х и обозначается y" или f"(x)
Скорость v прямолинейного движения есть производная пути s по времени t: v = ds/dt. В этом состоит механический смысл производной.
Угловои коэффициент касательной к кривой y = f(x) в точке с абсциссой х нулевое есть производная f"(x нулевого). В этом состоит геометрический смысл производной.
Касательной кривой в точке М нулевое называется прямая М нулевое Т, угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей М нулевое М один, когда дельта х стремится к нулю.
tg фи = lim tg альфа при дельта х стремится к нулю = lim (дельта х/ дельта у) при дельта х стремится к нулю
Из геометрического смысла производной уравнение касательной примет вид:
у - у нулевое = f"(x нулевого)(х - х нулевое)
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная S t ’ равна скорости точки в данный момент времени: S t ’= V.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +Dt – скорость равна V + DV , т. е. за промежуток времени Dt скорость изменилась на величину DV .
Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время Dt . Предел этого отношения при Dt ®0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой а: Итак, вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. .
Дифференциалы высших порядков
Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция х , можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается : .
Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной: .
Приложение дифференциального исчисления
Функция называется возрастающей (убывающей ) на интервале ( a; b), если для любых двух точек x 1 и x 2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство ().
Необходимое условие возрастания (убывания) : Если дифференцируемая функция на интервале ( a, b) возрастает (убывает), то производная этой функции неотрицательна (неположительна) в этом интервале () .
Достаточное условие возрастания (убывания): Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Функция f(x) в точке х 1 имеет максимум , если для любого х f(x 1)>f(x) , при x ¹x 1 .
Функция f(x)
в точке х 1
имеет минимум
, если для любого х
из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x 1)
Экстремум функции называют локальным экстремумом, так как понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 1 . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке интервала не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале.
Необходимое условие экстремума: В точке экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.
Достаточное условие экстремума: Если производная дифференцируемой функция в некоторой точке х 0 равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(х 0) является экстремумом функции, причем если изменение знака происходит с плюса на минус, то максимум, если с минуса на плюс, то минимум.
Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует называются критическими.
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Правило исследования функции на экстремум:
1). Найти критические точки функции у = f(x) и выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
2). Исследовать знак производной f"(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
3). На основании достаточного условия экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо выполнить несколько этапов:
1). Найти критические токи функции, решив уравнение f’(x)=0.
2). Если критические точки попали на отрезок, то необходимо найти значения в критических точках и на границах интервала. Если критические точки не попали на отрезок (или их не существует), то находят значения функции только на границах отрезка.
3). Из полученных значений функции выбирают наибольшее и наименьшее и записывают ответ, например, в виде: ; .
Решение задач
Пример 2.1. Найти дифференциал функции: .
Решение. На основании свойства 2 дифференциала функции и определения дифференциала имеем:
Пример 2.2. Найти дифференциал функции:
Решение. Функцию можно записать в виде: , . Тогда имеем:
Пример 2.3. Найти вторую производную функции:
Решение . Преобразуем функцию .
Найдем первую производную:
найдем вторую производную:
.
Пример 2.4. Найти дифференциал второго порядка от функции .
Решение. Найдем дифференциал второго порядка на основании выражения для вычисления :
Найдем сначала первую производную:
; найдем вторую производную: .
Пример 2.5. Найти угловой коэффициент касательной к кривой , проведенной в точке с абсциссой х=2 .
Решение . На основании геометрического смысла производной имеем, что угловой коэффициент равен производной функции в точке, абсцисса которой равна х . Найдем .
Вычислим – угловой коэффициент касательной к графику функции.
Пример 2.6. Популяция бактерий в момент времени t (t измеряется в часах) насчитывает особей. Найти скорость роста бактерий. Найти скорость роста бактерий в момент времени t = 5 часов.
Решение. Скорость роста популяции бактерий – это первая производная по времени t : .
Если t = 5 часов, то . Следовательно, скорость роста бактерий составит 1000 особей в час.
Пример 2.7. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Если х обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции у описывается функцией . При каком значении х реакция максимальна?
Решение . Найдем производную .
Найдем критические точки: ⇒ . ⇒ Следовательно, имеем две критические точки: . Значение не удовлетворяет условию задачи.
Найдем вторую производную . Вычислим значение второй производной при . . Значит, – уровень дозы, который дает максимальную реакцию.
Примеры для самостоятельного решения
Найти дифференциал функции:
1. .
2. .
3. .
4.
Найти вторые производные следующих функций:
6. .
Найти производные второго порядка и записать дифференциалы второго порядка для следующих функции:
9. .
11. Исследовать функцию на экстремум .
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
13. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума и точки пересечения с осями:
14. Закон движения точки имеет вид . Определить закон скорость и ускорение этой точки.
15. Уравнение движения точки имеет вид (м). Найти 1) положение точки в моменты времени с и с; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.
Задание на дом.
Практика:
Найти дифференциал функции:
1. ;
2. ;
Найти производные второго порядка функции:
4.
5.
Найти дифференциалы второго порядка
6. .
7. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислить скорость и ускорение в моменты времени и .
Найти интервалы возрастания и убывания функций:
9. .
10. При вливании глюкозы ее содержание в крови человека, выраженное в соответствующих единицах, спустя t часов составит . Найдите скорость изменения содержания глюкозы в крови при а) t =1 ч; б) t =2 ч.
Теория.
1. Лекция по теме «Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов. Приложение дифференциала функции нескольких аргументов».
2. Занятие 3 данного методического пособия.
3. Павлушков И.В. и другие стр. 101-113, 118-121.
Занятие 3. Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов
Актуальность темы: данный раздел математики имеет широкое применение при решении ряда прикладных задач, так как многим явлениям физического, биологического, химического явления присуща зависимость не от одной, а от нескольких переменных (факторов).
Цель занятия: научиться находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
Целевые задачи:
знать: понятие функции двух переменных; понятие частных производных функции двух переменных; понятие полного и частных дифференциалов функции нескольких переменных;
уметь: находить производные и дифференциалы функций нескольких переменных.
Краткие сведения из теоретического курса
Основные понятия
Переменная z называется функцией двух аргументов x и y, если некоторым парам значений по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Функция двух аргументов обозначается .
Функция задается в виде поверхности в прямоугольной системе координат в пространстве. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства х
Произведение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y)по х и обозначаются .
Полный дифференциал функции
Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение соответствующих независимых переменных, т. е. . Так как и тогда можно записать: или .